blog

Halsstarrige driehoeken, deel 4

Techniek

Hoe kun je een onregelmatige, uit driehoeken bestaande, mesh offsettable maken? Deze vraag stond centraal in een anderhalf jaar durend onderzoek door architect Jasper de Haan, design- en computerwizzard Axel Kilian, constructeur Paul Lagendijk en hun wereldwijde netwerken. Op deze plek zal Jasper de Haan zijn verslag van dit onderzoek in delen publiceren (om de week een hoofdstuk). Deze week deel 4:

Halsstarrige driehoeken, deel 4

In deel drie kwamen De Haan en companen tot het punt dat ze het gedrag van enkele losse piramides met maximaal acht vlakken begrepen en konden beheersen. Ook konden ze voorspellen wanneer ze wel en niet offsetbaar waren. Tijd om te kijken of ze iets kunnen zeggen over een situatie waarbij er meerdere gekoppelde piramides zijn die vlakken delen.

 

Bij voorbaat was al duidelijk dat dit het grootste probleem zou worden. Want iedere verschuiving van een top of een vlak, leidt tot een verschuiving van alle daar aan grenzende vlakken en toppen. Het eerste idee was, om bij alle hoekpunten (piramide toppen) van de oorspronkelijke geometrie meerdere kegels te tekenen, die allemaal op zijn minst aan drie vlakken raken.

Meerdere kegels

Na de wetmatigheden van offsetbare piramides te hebben vastgesteld, hebben we een gedeelte van de oorspronkelijke geometrie genomen en bij iedere hoekpunt (piramidetop) meerdere kegels getekend. Vanzelfsprekend: hoe meer vlakken hoe meer kegels. Het plan was om vervolgens van iedere top de best passende kegel te selecteren en de overige weg te gooien. Om vervolgens de bestaande geometrie ook te deleten en op basis van de kegels een nieuwe geometrie te tekenen, bestaande uit driehoeken die wel raken aan het kegelvlak (of het waarvan het verlengde vlak raakt aan de kegel) en dus offsettabel zijn.

Door slim te tekenen en de getekende kegels slim te selecteren, zou er theoretisch een stelsel van bijvoorbeeld drie piramidetoppen kunnen bestaan dat vrij in de ruimte zweeft (top A met zes vlakken, top B ook met zes vlakken en top C met vier vlakken) en waarbij de piramides gezamenlijk elf vlakken hebben en vier vlakken delen. Dat dan slechts de zeven niet gedeelde vlakken hoeven te worden verschoven om het geheel offsetbaar te krijgen, omdat de vier gezamenlijke vlakken allemaal raken aan tenminste twee van de bijbehorende kegels en aan het ene vlak dat alle drie de kegels raakt. Door de zeven te verschuiven vlakken de buitenste te laten zijn, kunnen de vier verbindingsvlakken blijven zoals ze zijn.

Bijkomende strategie was, om van onder naar boven te werken, dus eerst de vlakken goed te krijgen die de grond snijden (het ‘maaiveld’), daar er veel meer vrijheid ligt in het verschuiven van vlakken en punten in het ‘dak’ dan op de grond. Dit in verband met de benodigde m2, hoofden stoten, etc.

Het maaiveld

Helaas bleek er een bijkomend probleem op te duiken met de vlakken die het maaiveld raken. Dit vlak kan beschouwd worden als een ‘toevallig’ vlak van een piramide. Het is ook mogelijk om de piramide te beschouwen als onderdeel van een veel grotere piramide, die zich grotendeels onder het ‘maaiveld’ bevindt en dus door het maaiveld wordt afgesneden. Beiden keuzen zijn problematisch.

In het eerste geval, maaiveld is een piramidevlak, is het niet mogelijk om dat vlak te verschuiven om het geheel passend te maken. Het maaiveld zou dan immers naar onder of boven verplaatst moet worden, terwijl een kenmerk van het maaiveld is dat het overal hetzelfde peil heeft. Daarmee worden de mogelijkheden om die piramide kloppend te krijgen ernstig verminderd. Ook kan moeilijk-tot-niet met de top van de kegel worden gemanipuleerd, daar deze dan onder of boven het maaiveld komt te liggen. Tenzij natuurlijk de as van de kegel, parallel loopt aan het maaiveld. Waardoor de speelruimte nog beperkter wordt.

Gelukkig is het wel zo, dat als er twee vlakken in een punt bij elkaar komen op het derde vlak, dat het maaiveld is, dat er dan altijd een offsettabel piramide ontstaat. Als je dan tenminste nog van een piramide kan spreken.

 

Verschillende kegels per piramidetop

 
Keuze definitieve kegels in Rhino

 

 
Kegels met nieuwe geometrie

Nieuwe geometrieën tekenen

Er zijn vier variabelen die we nu kunnen gebruiken om zo goed mogelijk passende kegels en daaraan rakende vlakken te tekenen, zodat het geheel offsetbaar wordt.

  1. de hoogte van de kegel, ofwel het verplaatsen van de top van de kegel over de as die gevormd wordt door de loodlijn op de basis (cirkel) van de kegel.
  2. juist uitgaan van het oorspronkelijke hoekpunt (piramide top) en enkel de diameter van de cirkel wijzigen.
  3. het kantelen van de kegel en dus ook de as, al dan niet over een raaklijn die in een bestaand vlak ligt.
  4. en natuurlijk het verschuiven van vlakken (driehoeken in dit geval) van de piramide.

Dat laatste wil je zo min mogelijk doen, daar dat onmiddellijk consequenties heeft voor de andere twee hoekpunten van de bewuste driehoek.

Mede door de onverwachte problemen bij het grondvlak die hiervoor zijn beschreven, bleek het niet mogelijk om handmatig een nieuwe geometrie te tekenen voor tenminste één enkele rij offsetbare driehoeken rondom het hele gebouwtje. Plan was namelijk als dat gelukt was, dat er dan een veel grotere vrijheid zou ontstaan voor de driehoeken die het dak vormen. Daar zouden we dan desnoods een geheel nieuwe vorm voor kunnen maken. Dit bleek dus niet te doen en niet mogelijk, althans niet ‘met de hand’.

Eén punt

Een andere manier om driehoekige onregelmatige meshes een dikte te kunnen geven en toch een gesloten vorm (zonder vreemde gaten en uitsteeksels) te houden is om de ’offset’ niet parallel aan het moedervlak te doen, maar alle vlakken over eenzelfde afstand te verplaatsen in de richting van één punt.

Probleem wat daarbij onmiddellijk opduikt is dat de vlakken niet meer allemaal dezelfde dikte hebben, aangezien de hoek van de richting waarin ze geoffset worden verschillend is. Iets waar, om begrijpelijke redenen, onze constructeur van gruwde. Maar reden om hier toch eens naar te kijken was (behalve bovenstaande mislukking) de suggestie dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat die verschillen in dikte zo klein zouden zijn dat ze verwaarloosbaar zouden worden. Of dat ze verwaarloosbaar konden worden door bijvoorbeeld twee of drie punten te nemen waarheen je zou kunnen offsetten. Door de berekende constructieve dikte als minimum maat te nemen (dus minimaal 220 mm dik of dikker) zouden we de constructeur ook weer blij kunnen maken. Tenzij de dikte dan op sommige plekken zo groot zou worden dat het eigen gewicht van de constuctie in verhouding veel te zwaar werd.

 
Ofsetten naar één enkel punt. De dikte van de platen varieert van 40 mm tot 197 mm.

 
Ofsetten naar twee punten. De dikte van de platen varieert van 100 tot 197 mm.

Helaas

Helaas, de dikte verschillen werden erg groot en helemaal niet verwaarloosbaar. Ook bleek het niet mogelijk om de verschillen in dikte terug te brengen naar drie of vier verschillende dikten, zodat je de 36 panelen in bijvoorbeeld groepjes van acht met ieder hun eigen dikte zou kunnen maken. Kortom ook deze oplossing moest worden verworpen.

Deze blog maakt deel uit van een serie.
De links naar de andere delen zijn te vinden in de rechterkolom.
Het onderzoek waarop de blogs zijn gebaseerd, is mede mogelijk gemaakt door het SfA.

 

Reageer op dit artikel
Lees voordat u gaat reageren de spelregels