blog

Halsstarrige driehoeken, deel 3

Techniek

Hoe kun je een onregelmatige, uit driehoeken bestaande, mesh offsettable maken? Deze vraag stond centraal in een anderhalf jaar durend onderzoek door architect Jasper de Haan, design- en computerwizzard Axel Kilian, constructeur Paul Lagendijk en hun wereldwijde netwerken. Op deze plek zal Jasper de Haan zijn verslag van dit onderzoek in delen publiceren (om de week een hoofdstuk). Deze week deel 3:

Halsstarrige driehoeken, deel 3

In deel 2 kwamen De Haan en de zijnen er achter dat je een model met dikte nul niet ongestraft kunt offsetten naar een model met dikte. En dat ze subsidie kregen die kon worden gebruikt om de problematiek uit te zoeken. Tevens lag het daadwerkelijke project stil, daar er een artikel-19-procedure moest worden gevoerd in verband met de hoogte van het nieuwe gebouw. Omwonenden hadden daarbovenop nog bezwaar ingediend tegen de komst van de BSO, daar dit naar hun idee een enorme parkeeroverlast zou veroorzaken. Onze opdrachtgever liet ons dan ook weten dat het project wat hem betreft stil zou liggen en blijven liggen en het nog maar de vraag was of het ooit weer opgestart zou worden. Temeer daar er inmiddels een tijdelijke bouwvergunning was afgegeven voor vijf jaar voor het plaatsen van twee portocabins waarin de bso tijdelijk onderdak kon krijgen. Dit gaf alle tijd om het probleem systematisch aan te pakken.

 

Uit de literatuur, met name één boek, Architectural Geometry, door Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer en Axel Kilian, is bekend dat het offsetten van vlakken problematisch kan zijn. Ter illustratie en verduidelijking hieronder in het kort de problematiek en een reeds bekende oplossing.

Allereerst het basisprobleem op het moment dat je gaat iets gaat offsetten: de zwarte lijn is het uitgangspunt, de lichtblauwe de ge-offsette lijn. Bij de rechte lijn is er hoegenaamd geen probleem. Bij de slingerlijn zijn de problemen onmiddellijk gigantisch. Want welke lijn te kiezen.

 

Hiervoor zijn oplossingen bedacht bijvoorbeeld om de curves tot rechte lijnen te herleiden en daar dan weer cirkels in te gebruiken, zoals de afbeelding hieronder laat zien:

 

Het offsetten van vlakken, zeker als deze ook nog gebogen zijn, wordt helemaal problematisch. In plaats van cirkels kan je dan cilinders gebruiken. Maar op het moment dat de vlakken dubbelgekromd zijn zul je bollen moeten gaan gebruiken. Hetzelfde probleem doet zich voor met de onregelmatige oppervlakken opgebouwd uit driehoeken. Sterker nog, dubbelgekromde vlakken worden vaak (bijvoorbeeld bij het maken van computer animaties voor film) opgedeeld in kleinere driehoekige vlakken om zo de curves uit de oorspronkelijk vorm te benaderen. En juist het offsetten van deze driehoekige vrije vormen is problematisch. Daarom zijn er ook stemmen om dit soort dingen alleen nog te doen met vier-, vijf- of zeshoeken.

Scheluw 

Probleem van de vier- en meerhoeken is dat er zich onmiddelijk het probleem van een scheluw vlak voordoet. Probleemloos in de virtuele wereld, maar verschrikkelijk in de, in dat licht, middeleeuwse bouwpraktijk. Wellicht is de tussenvorm, vierhoekige vlakken die ook nog eens door een cirkel omschreven zijn (in een vlak dus, en ook nog eens alle hoekpunten op een cirkel) er één die het meest veelbelovend is in deze. Waarover later meer.

Om onze vraagstelling zo simpel en helder mogelijk te houden, besloten we om niet opnieuw te beginnen, maar om uitgaande van de bestaande geometrie een daar zo dicht bij mogelijk liggende vorm te proberen te maken, die wel netjes offsetbaar zou zijn. Om allereerst te begrijpen wat dat offsetbaar zijn nu inhield, besloten we tot een systematische aanpak. En dus om eerst een familie van piramides aan een nader onderzoek te onderwerpen. Aangezien de grootste piramide in het gebouw bestond uit acht vlakken, besloten we piramides van drie tot en met acht vlakken te onderzoeken op offsetbaarheid. Hierbij gebruikmakend van het inmiddels bekende bewijs dat vierhoekige piramides offsetbaar zijn of offsetbaar zijn te maken, mits de top gelijk valt met de top van een kegel en de vlakken van de piramide raken aan de tangent van die kegel.

  

A parametric research model showing a closest fit cone automatically generated from arbitrary 4 points (or more possibly) and generating the offsetable pyramid from it with a variable height peak point – Axel Kilian

Deze methode is ontwikkeld door Helmut Pottman, die hem gebruikt om dubbelgebogen vlakken in driehoeken te vertalen (to triangulate), voor bijvoorbeeld het maken van renderingen voor film. Die driehoekige meshes moeten dan vervolgens offsetbaar worden gemaakt en hiervoor heeft Pottman deze methode ontwikkeld. Inmiddels is men meer geneigd dit soort vormen in vier- of vijfhoeken te verdelen om deze problematische offsetbaarheid te omzeilen. Maar aangezien het doel hier niet het maken van een rendering, was, maar wel om een stabiele en makkelijk te vervaardigen constructie maken, hadden wij juist wel voor naar hun aard stabiele driehoeken gekozen.

Een periodiek systeem

De eerste stap was om te kijken of deze ‘methode’ om piramides offsettabel te maken ook opging voor piramides met meer vlakken. Daarvoor hebben we het programma Rhino aangeschaft, omdat alleen daarmee een cirkel handig door drie raakpunten kan worden bepaald. Deze functie is noodzakelijk voor het tekenen van de basis van de kegel, waar de vlakken van de piramide weer aan moeten raken.

Gelukkig bleek de methode van tangenten die raken aan een kegel ook op te gaan voor, in ieder geval, piramides met, drie, vijf, zes zeven en acht vlakken. (wat een eerste ontdekking was)

Op die manier hebben we geprobeerd een soort van periodiek systeem van piramides te maken, met daarin hun eigenschappen ten opzichtte van offsetbaarheid.

 

De tweede ontdekking was dat piramides met een oneven aantal vlakken (3, 5 en 7) een omschrijvende cirkel van de kegel ‘automatisch’ in hetzelfde vlak hebben liggen als de hoekpunten van hun basis. Met andere woorden bij offsetbare piramides met een oneven aantal vlakken, liggen de hoekpunten van de basis in één vlak. Hetgeen helemaal niet het geval hoeft te zijn bij piramides met een even aantal vlakken.

Deuken

De derde ontdekking, en misschien wel de belangrijkste uit dit onderzoek, is het fenomeen, dat we ‘deuken’ hebben genoemd. Het gaat hier om hoeken in de basis die negatief of zo je wil groter dan 180º zijn. Het gaat hier om ‘inhammen’ in de basis van de piramide. De vraag was of dan ook nog bovenstaande verhaal met de raaklijn met de tangent op het kegelvlak zou gelden. Dat bleek het geval, mits de verlengde raaklijn c.q. vlak (zie rode stippellijnen, bij bijvoorbeeld 5, 1 deuk 5, 2 deuken).

Mis bleek het te gaan als het diepste punt van de deuk samen bleek te vallen met de top van de kegel (7, S 1 deuk) in rood aangegeven.

En helemaal mis gaat het als het diepste punt van de deuk nog verder naar binnen lag dan de top van de kegel. (7, S 1 deuk onderste) ook in rood aangegeven.

Nu we het gedrag van enkele losse piramides met wel acht vlakken begrepen en ook konden beheersen en voorspellen wanneer ze wel en niet offsetbaar waren, werd het zaak om te kijken of we iets konden zeggen over een situatie waarbij er meerdere gekoppelde piramides zijn die vlakken delen. Dit bespreken we over twee weken, in deel 4.

Deze blog maakt deel uit van een serie.
De links naar de andere delen zijn te vinden in de rechterkolom.
Het onderzoek waarop de blogs zijn gebaseerd, is mede mogelijk gemaakt door het SfA.

 

Reageer op dit artikel
Lees voordat u gaat reageren de spelregels